Элементы логики
Предположение примера выразим формулой:
(AB)(BC)A.
Доведем, при истинности такого условия истинным будет высказывание C. Превратим (AB)(BC)A к ДНФ:
(AB)(BC)A (AB)(BC)A A(AB)(BC)
(AA)(AB)(BC) (AB)(BC)
(ABB)(ABC) ABC.
Следовательно, имеем, что истинной является формула ABC. Но она истинна лишь тогда, когда каждый сомножитель истинен. Отсюда высказывание C является истинным.
Таким образом, из истинности формул (AB), (BC) и A выплывает истинность C. В таком случае C называется логическим выводом этих формул.
Определение. Формула Y называется логическим выводом формул X1, X2, ., Xn, если из истинности X1X2.Xn выплывает истинность формулы Y. Формулы X1, X2, ., Xn называются предпосылками Y.
Проверить, или есть одна формула логическим выводом других, можно с помощью сравнения таблиц истинности этой формулы и конъюнкции других. Но можно действовать совсем иным способом на основе двух следующих утверждений.
Теорема 1. Формула Y является логическим выводом формул X1, X2, ., Xn тогда и только затем, когда формула (X1X2.Xn)Y является тавтологией.
Доведение. 1 (Необходимость). Допустимо, что формула Y является логическим выводом формул X1, X2, ., Xn. Если при некоторых значениях букв в формулах X1, X2, ., Xn хотя бы одна из них ошибочная, то за определением импликации (X1X2.Xn)Y истинная. Если же при некоторых значениях букв в формулах X1, X2, ., Xn все они истинны, X1X2.Xn также истинная. Но формула Y является логическим выводом формул X1, X2, ., Xn, потому она также истинная. Тогда истинная и формула (X1X2.Xn)Y. Следовательно, при любых значениях букв (X1X2.Xn)Y истинная, то есть является тавтологией.
2 (Достаточность). Допустимо, что (X1X2.Xn)Y является тавтологией. Тогда если при каких-то значениях букв в формулах X1, X2, ., Xn все они истинны, то Y также истинная, то есть есть их логическим выводом.
Теорема 2. Формула Y является логическим выводом формул X1, X2, ., Xn тогда и только затем, когда формула (X1X2.XnY) есть суперечнистю.Доведення. За теоремой 1, формула Y является логическим выводом формул X1, X2, ., Xn тогда и только затем, когда формула (X1X2.Xn)Y является тавтологией. Отсюда Y является логическим выводом формул X1, X2, ., Xn тогда и только затем, когда отрицание ((X1X2.Xn)Y)является противоречием. Но
((X1X2.Xn)Y) ((X1X2.Xn)Y)
((X1X2.Xn))Y X1X2.XnY.
Таким образом, утверждение теоремы истинно.
Рассмотрим пример применения приведенных теорем. Докажем, что формула B является логическим выводом формул AB и A. Превратим формулу (AB)AB:
(AB)AB (AB)AB (AAB)(BAB) 00 0.
Следовательно, формула (AB)AB противоречивая, и за теоремой 2 формула B является логическим выводом формул AB и A.
Вернуться назад