Элементы логики

Главная - Логика - Элементы логики

(ABCB)(BCAB) (3)

 (ABC)(ABB)(BCA)(BCB) (3)

 (AC)(BC)(AB)(BB)(BA)(CA)

(BB)(CB) (9)

 (AC)(BC)(AB)(BA)(CA)(CB)

4. Тавтология, противоречия и логические выводы

Определение. Формула называется тотожньо истинной, или тавтологией, если имеет значение 1 при всех возможных значениях пропозицийних переменных.

Например, AA или (AB)(BA). Нетрудно также убедиться, что заменой знаков  на связи  в законах (1) -(13), приведенных в п.1.1, получается именно тавтология.Тавтология характерна тем, что когда все вхождения той же буквы заменить на любое, но одно и то же высказывание, то новое высказывание будет истинным. Например, подставим в тавтологию ((AB)B)A вместо буквы A высказывания "светит солнце", а вместо буквы B - "светят зори". Полученное высказывание "Если светит солнце или светят зори, и не светят зори, то светит солнце" является истинным. Подчеркнем, что сама по себе структура этого высказывания уже обеспечивает его истинность.

Нетрудно убедиться, что если тавтологией является некоторая формула X и формула XY, то Y также является тавтологией.

Определение. Формула называется тотожньо ошибочной, или противоречием, если имеет значение 0 при всех возможных значениях пропозицийних переменных.

Одним из характерных примеров противоречия есть высказывание AA. Это противоречие используется в доведении утверждений вида AB методом "от противоположного". Допускают истинность отрицания (AB)то есть истинность AB. Из истинности B выводят A, получая противоречие AA. Она свидетельствует об ошибочности AB, то есть истинность AB.

Заметим, что для доведения истинности AB достаточно с B вывести A, то есть довести истинность противоположного утверждения BA. Ведь по закону контрапозиций (11) AB  BA

Очевидно, что отрицание любой тавтологии является противоречием, и наоборот. В отличие от тавтологии, подстановка высказываний в противоречии порождает ошибочные высказывания.

Теперь рассмотрим понятие логического вывода. В математике, как и в обычной жизни, придется выяснять, или выплывает некоторое утверждение из одного или нескольких других, то есть есть ли это утверждение их логическим выводом.

Пример. Допустимо, что покупательная способность денег падает, если растут налоги, и что люди недовольны, когда падает покупательная способность денег. Допустимо также, что налоги растут. Отсюда можно прийти к заключению, что люди недовольны.

Для этого обозначим высказывание буквами :

A - "налоги растут",

B - "покупательная способность денег падает",

C - "люди недовольны".