Понятие предиката

Главная - Логика - Понятие предиката

Понятие предиката

Исчисление высказываний, которое рассматривалось в попереднiх роздiлах, как алгебра высказываний i как формальная (аксiоматична) теорiя, есть важной i невiд 'емкой составной частью всiх исчислений математической логiки. Однако оно есть слишком бiдним для описания и аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.

Однiею по причинам этого есть то, что у численнi высказываний любое простое высказывание рассматривается как вихiдний объект дослiдження, неподiльне цiле, лишенное частей i внутрiшньой структуры, которое имеет лишь одну властивiсть - быть или iстинним, или ошибочным.

Для того, чтобы построить систему правил, которая позволяла бы проводить логiчнi мiркування для выведения нетривiальних правильных висновкiв с учетом строения i змiсту простых высказываний, предлагается формальная теорiя, что дiстала название исчисления предикатiв.

Теорiя предикатiв начинается с аналiзу грамматического строя простых высказываний i основывается на таком выводе: простi высказывания выражают тот факт, что деякi объекты (или отдельный объект) имеют певнi властивостi, или что цi объекты находятся мiж собой в определенном вiдношеннi.

Например, в iстинному висловленнi «3 есть простое число» пiдмет «3» - это объект, а сказуемое «есть простое число» выражает некоторую его властивiсть.

В латинськiй граматицi сказуемое называется предикатом, звiдси этот термiн i увiйшов в математическую логiку. Главным для логiки предикатiв есть именно вторая составляющая предложения-высказывания - сказуемое-властивiсть. Она фiксуеться, а значение объекта предлагается змiнювати так, чтобы каждый раз получать осмисленi предложение, то есть высказывание.

Например, замiнюючи в вышеприведенном висловленнi 3 на 1, 5, 9 или 12, будем иметь вiдповiдно такi высказывания : «1 есть простое число», «5 есть простое число», «9 есть простое число», «12 есть простое число», из которых второе есть iстинним, а остальные - ошибочными высказываниями.

Таким образом, можно рассмотреть выражение «x есть простое число», который не является высказыванием, а является так называемой пропозицiйною (висловлювальною) формой. То есть формой (или формуляром), пiсля пiдстановки в которую замiсть параметра (змiнной) x о' ектiв (значений) из определенного множества M, дiстаемо высказывания.

Аналогiчно можно трактовать, например, пропозицiйнi формы «a являются украинцем», «b i c есть однокурсники», «c тяжелее d», или «точка x лежит мiж точками y i z». В першi двi из них можно пiдставляти замiсть параметрiв a, b i c прiзвища конкретных людей. В третью замiсть c i d названия любых о' ектiв (предметiв), якi имеют вес. Для четвертой множеством M значений змiнних x, y i z есть множество точек определенной прямой.

Первая из этих пропозицiйних форм задает, как i в наведенiй ранiше формi, определенную властивiсть для объекта a. Iншi три формы описывают деякi вiдношення мiж вiдповiдними объектами.

Рассмотрев конкретнi примеры i коротко остановившись на мотивацiй и змiстовнiй iнтерпретацiй дальнейших понятий, перейдем к формальным математическим определениям.

n - мiсним предикатом P(x1, x2,...,xn) на множинi M называется довiльна функцiя типа MnB, где B ={0,1} - бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множество M называется предметной областью, или унiверсальною множеством, а x1, x2,...,xn - предметными змiнними, или термами предиката P.

Множество елементiв (a1, a2,...,an)Mn таких, что P(a1, a2,...,an) = 1 называется областью iстинностi (или характеристическим множеством) предиката P.

Если P(a1, a2,...,an) = 1, то згiдно из логiчною iнтерпретацiею будем говорить, что предикат P есть iстинним на (a1, a2,...,an). В противном разi, будем говорить, что предикат P является ошибочным.

Взагалi говоря, можно означать так называемый многосортный предикат, как функцiю типа M1M2...MnB, позволив разным его аргументам принимать значение из рiзних множеств. Iнодi это бывает доцiльним; однако частiше в логiцi предикатiв используют приведенное ранiше определение.