Элементы логики
Определение. Высказывание вида "A тогда и только затем, когда B" записывается как AB и называется эквивалентностью высказываний A и B. Она истинна, когда значения высказываний A и B сбегаются. Если же они разные, то эквивалентность ошибочна. Например, высказывание "Если 2*2=5, то Солнце вращается вокруг Земли" является истинным. Эквивалентность часто помечают не знаком ""а знаком "".
Заметим, что запись AB читается также как "B является необходимым и достаточным условием для A", а также как "Если A, то B, и если B, то A". Отрицание эквивалентности (AB) читается как "Или A, или B". Составленный сполучник "или ., или ". иногда называется "исключительное или". Подчеркнем, что дизъюнкция AB отличается от отрицания эквивалентности (AB).
Определение. Высказывания записывают в виде формул по таким правилам:
1) пропозицийна буква является формулой;
2) если X и Y - формулы, то (X), (XY) (XY) (XY) (XY) также являются формулами;
3) других формул нет.
По этим правилам, например, (AB)являются формулами, ABC - нет. Дальше мы рассмотрим согласования, которые позволяют сокращать запись формул. В частности, эти согласования позволяют рассматривать ABC как формулу. Здесь лишь заметим, что можно не записывать внешние скобки формул, например, писать XY.
2. Таблицы истинности формул и закониФормула является словом, то есть последовательностью символов - имен пропозицийних переменных, знаков связок и скобок. Это слово имеет определенную структуру, ограниченную правилами построения формул. Подслово этого слова, которое является формулой, называется подформулой. Например, в формуле ((AB)&((AB))) есть подформулы A, B (AB) (AB) ((AB)).
Формула, которая помечает высказывание, составленное из других, более простых, имеет значение, которое зависит от значений этих составных высказываний. Для его вычисления сначала каждой пропозицийний переменной относится в соответствие одно из значений "ошибочность" или "истина" (0 или 1). Дальше за определениями пропозицийних связок вычисляется значение подформул, начиная от самых простых и заканчивая всей формулой. Значение формул с одной двухместной связкой при всех возможных наборах значений переменных приведено в таблице:
A BABABABAB
0 00011
0 10110
1 00100
1 11111
Вычислим значение формулы, например,(BA) при всех возможных наборах значений переменных A и B. Вычисление подадим такой таблицей:
A BABBA(BA)
0 0111
0 1100
1 0010
1 1111
Вернуться назад