Элементы логики

Главная - Логика - Элементы логики

Определение. Высказывание вида "A тогда и только затем, когда B" записывается как AB и называется эквивалентностью высказываний A и B. Она истинна, когда значения высказываний A и B сбегаются. Если же они разные, то эквивалентность ошибочна. Например, высказывание "Если 2*2=5, то Солнце вращается вокруг Земли" является истинным. Эквивалентность часто помечают не знаком ""а знаком "".

Заметим, что запись AB читается также как "B является необходимым и достаточным условием для A", а также как "Если A, то B, и если B, то A". Отрицание эквивалентности (AB) читается как "Или A, или B". Составленный сполучник "или ., или ". иногда называется "исключительное или". Подчеркнем, что дизъюнкция AB отличается от отрицания эквивалентности (AB).

Определение. Высказывания записывают в виде формул по таким правилам:

1) пропозицийна буква является формулой;

2) если X и Y - формулы, то (X), (XY) (XY) (XY) (XY) также являются формулами;

3) других формул нет.

По этим правилам, например, (AB)являются формулами, ABC - нет. Дальше мы рассмотрим согласования, которые позволяют сокращать запись формул. В частности, эти согласования позволяют рассматривать ABC как формулу. Здесь лишь заметим, что можно не записывать внешние скобки формул, например, писать XY.

2. Таблицы истинности формул и закониФормула является словом, то есть последовательностью символов - имен пропозицийних переменных, знаков связок и скобок. Это слово имеет определенную структуру, ограниченную правилами построения формул. Подслово этого слова, которое является формулой, называется подформулой. Например, в формуле ((AB)&((AB))) есть подформулы A, B (AB) (AB) ((AB)).

Формула, которая помечает высказывание, составленное из других, более простых, имеет значение, которое зависит от значений этих составных высказываний. Для его вычисления сначала каждой пропозицийний переменной относится в соответствие одно из значений "ошибочность" или "истина" (0 или 1). Дальше за определениями пропозицийних связок вычисляется значение подформул, начиная от самых простых и заканчивая всей формулой. Значение формул с одной двухместной связкой при всех возможных наборах значений переменных приведено в таблице:

A BABABABAB

0 00011

0 10110

1 00100

1 11111

Вычислим значение формулы, например,(BA) при всех возможных наборах значений переменных A и B. Вычисление подадим такой таблицей:

A BABBA(BA)

0 0111

0 1100

1 0010

1 1111