Элементы логики

Главная - Логика - Элементы логики

Элементы логики

1. Высказывание и формулы

Одним из основных понятий логики есть высказывание - повествовательное предложение, о котором можно утверждать, что оно является или истинным, или ошибочным.

Конечно, в языке существуют предложения, о которых нельзя сказать, истинные они или ошибочные. Например, предложение "Это предложение является ошибочным". Если допустить, что оно является истинным, то из него выплывает его ошибочность, а если оно является ошибочным, то имеем, что оно истинно. Следовательно, это предложение нельзя рассматривать как высказывание. В действительности оно является вариантом известного парадокса лгуна : невозможно сказать, или является истинной или ошибочной фраза лгуна "Я лгу".

Однако наличие таких парадоксальных предложений не будет мешать нам дальше, поскольку математические знания формулируются именно высказываниями.

Ошибочность или истинность высказываний может изменяться, например, во времени ("Сейчас ночь"), в пространстве ("Мы летим над Африкой") и тому подобное. Будем смотреть на высказывание как на переменную, которая может иметь одно из двух значений, - "ошибочность" или "истина", обозначенные 0 и 1 соответственно. Эти значения считаются противоположными друг другу.

Определение. Переменная с возможными значениями "ошибочность" или "истина" называется пропозицийною.

Будем помечать пропозицийни переменные большими буквами A, B, C, ., возможно, с индексами. Эти буквы также называются пропозицийними.

Из высказываний можно получать другие высказывания, связывая их сполучниками "и", "или", "если ., то ". но другими. Эти сполучники обозначаются специальными знаками и называются пропозицийними связками. Будем означать их.

Определение. Высказывание вида "Не A" записывается A и называется отрицанием высказывания A. Его значение есть противоположным значению A.

Определение. Высказывание вида "A и B" записывается как A&B или AB или AB и называется конъюнкцией высказываний A и B, или их логическим произведением. Высказывания A и B называются сомножителями конъюнкции. Она истинна, когда каждый из сомножителей истинный. Если же хотя бы один из них ошибочный, то и она ошибочна. Ее еще записывают в виде .

Определение. Высказывание вида "A или B" записывается как AB и называется дизъюнкцией высказываний A и B, или логической суммой (слагаемых дизъюнкции). Она истинна, когда хотя бы одно из слагаемых истинный (возможно, и оба). Если же оба слагаемого ошибочные, то и она ошибочна. Ее еще записывают в виде .

Определение. Высказывание вида "Если A, то B" записывается как AB и называется импликацией с предпосылкой A и выводом B. Импликация ошибочна, когда предпосылка истинна, а вывод ошибочен. Во всех иных случаях она истинна. Например, высказывание "Если 2*2=4, то Солнце вращается вокруг Земли" за этим определением является ошибочным, а высказывание "Если 2*2=5, то Солнце вращается вокруг Земли" - истинным. Импликацию часто помечают знаком "": AB.

Заметим, что запись AB читается также, как "B является необходимым условием для A", или как "A является достаточным условием для B", или как "Из A выплывает B", или как "A только тогда, когда B", или как "B тогда, когда A".

Импликация "Из не B выплывает не A", что обозначается (B)(A)называется высказыванием, противоположным высказыванию AB. Импликация "Из B выплывает A", что обозначается BA, называется высказыванием, обратным к высказыванию AB.

Определение. Высказывание вида "A тогда и только затем, когда B" записывается как AB и называется эквивалентностью высказываний A и B. Она истинна, когда значения высказываний A и B сбегаются. Если же они разные, то эквивалентность ошибочна. Например, высказывание "Если 2*2=5, то Солнце вращается вокруг Земли" является истинным. Эквивалентность часто помечают не знаком ""а знаком "".