Элементы логики

Главная - Логика - Элементы логики

причем утверждение x P(x) и x P(x) неравносильные.Рассмотрим некоторые из возможных применений пропозицийних связок к выражениям с кванторами. Отрицание (x P(x)) читается как "неистинно, что все значения x имеют свойство P", то есть как "существует значение x, что не имеет свойства P". Такое предложение можно обозначить как x P(x). Таким образом,

(x P(x))  x P(x).

Аналогично

(x P(x))  x P(x).

Высказывание x P(x)  x Q(x) читается как "все значения x имеют свойство P и все значения x имеют свойство Q", то есть "все значения x имеют свойство P и свойство Q". Таким образом,

(x P(x))(x Q(x))  x (P(x)Q(x)).

Высказывание x P(x)  x Q(x) читается как "все значения x имеют свойство P или все значения x имеют свойство Q". Из этого предложения выплывает, что "все значения x имеют свойство P или свойство Q", но эти два предложения не равносильные. Таким образом, x(P(x)Q(x)) является логическим выводом высказывания (x P(x))(x Q(x))то есть

((x P(x))(x Q(x)))  x(P(x)Q(x)),

но они неравносильны.

Пример. Если P(x) помечает предложение "x - парное число", а Q(x) - "x - нечетное число", то высказывание x(P(x)Q(x)) является истинным, а (x P(x))(x Q(x)) - ошибочным.

В конце, рассмотрим предложение с двумя и больше кванторами. Они появляются, когда идет речь о свойствах пар, троек и тому подобное переменных. Например, предложение "При любом натуральном значении x существует значение y, такое, что x является делителем y" можно записать как

x (y D(x, y)),

где D(x, y) помечает предложение "x является делителем y".

Предложение вида "При любом значении x исполняется, что при любом значении y истинно A(x, y)" можно обозначить так:

x (y A(x, y)).

Будем опускать скобки, записывая, например, x y D(x, y) или x y A(x, y). Последнее выражение можно прочитать также, как "При любом значении x и при любом значении y истинно A(x, y)".

Аналогично предложение вида " При любом значении x и при любом значении y и при любом значении z истинно A(x, y, z)" можно обозначить выражением

x y z A(x, y, z).

И так далее. Рассмотрим, например, утверждение большой теоремы Ферма:

Уравнение zn=xn+yn, где n - целое число, больше 2, не имеет решений в целых положительных числах.

Одной из возможных записей этого утверждения есть такой: