Элементы логики
причем утверждение x P(x) и x P(x) неравносильные.Рассмотрим некоторые из возможных применений пропозицийних связок к выражениям с кванторами. Отрицание (x P(x)) читается как "неистинно, что все значения x имеют свойство P", то есть как "существует значение x, что не имеет свойства P". Такое предложение можно обозначить как x P(x). Таким образом,
(x P(x)) x P(x).
Аналогично
(x P(x)) x P(x).
Высказывание x P(x) x Q(x) читается как "все значения x имеют свойство P и все значения x имеют свойство Q", то есть "все значения x имеют свойство P и свойство Q". Таким образом,
(x P(x))(x Q(x)) x (P(x)Q(x)).
Высказывание x P(x) x Q(x) читается как "все значения x имеют свойство P или все значения x имеют свойство Q". Из этого предложения выплывает, что "все значения x имеют свойство P или свойство Q", но эти два предложения не равносильные. Таким образом, x(P(x)Q(x)) является логическим выводом высказывания (x P(x))(x Q(x))то есть
((x P(x))(x Q(x))) x(P(x)Q(x)),
но они неравносильны.
Пример. Если P(x) помечает предложение "x - парное число", а Q(x) - "x - нечетное число", то высказывание x(P(x)Q(x)) является истинным, а (x P(x))(x Q(x)) - ошибочным.
В конце, рассмотрим предложение с двумя и больше кванторами. Они появляются, когда идет речь о свойствах пар, троек и тому подобное переменных. Например, предложение "При любом натуральном значении x существует значение y, такое, что x является делителем y" можно записать как
x (y D(x, y)),
где D(x, y) помечает предложение "x является делителем y".
Предложение вида "При любом значении x исполняется, что при любом значении y истинно A(x, y)" можно обозначить так:
x (y A(x, y)).
Будем опускать скобки, записывая, например, x y D(x, y) или x y A(x, y). Последнее выражение можно прочитать также, как "При любом значении x и при любом значении y истинно A(x, y)".
Аналогично предложение вида " При любом значении x и при любом значении y и при любом значении z истинно A(x, y, z)" можно обозначить выражением
x y z A(x, y, z).
И так далее. Рассмотрим, например, утверждение большой теоремы Ферма:
Уравнение zn=xn+yn, где n - целое число, больше 2, не имеет решений в целых положительных числах.
Одной из возможных записей этого утверждения есть такой:
Вернуться назад