Логiка предикатiв. Кванторы
Как из элементарных высказываний с помощью логiчних операцiй можно образовывать складенi высказывание, так i, используя простi (елементарнi) предикаты i логiчнi связки (операцiй), можно строить складенi предикаты или предикатнi формулы.
Как правило, основнi логiчнi операцiй , , , , ~ значат для предикатiв, что заданi на однiй i тiй самiй предметнiй областi M i зависят вiд тех же змiнних.
Пусть P(x1, x2,...,xn) i Q(x1, x2,...,xn) - n - мiснi предикаты на множинi M.
Кон' юнкцiею P(x1, x2,...,xn)Q(x1, x2,...,xn) называют предикат R(x1, x2,...,xn), который приобретает значение 1 на тех i тiльки тех наборах значений термiв, на которых оба предиката P(x1, x2,...,xn) i Q(x1, x2,...,xn) дорiвнюють 1.
Очевидно, что область iстинностi предиката R(x1, x2,...,xn) = P(x1, x2,...,xn)Q(x1, x2,...,xn) збiгаеться с теоретико-множинним пересечением областей iстинностi предикатiв P(x1, x2,...,xn) i Q(x1, x2,...,xn).
Диз' юнкцiею P(x1, x2,...,xn)Q(x1, x2,...,xn) называют предикат T(x1, x2,...,xn), который приобретает значение 1 на тех i тiльки тех наборах значений термiв, на которых или предикат P(x1, x2,...,xn), или предикат Q(x1, x2,...,xn) дорiвнюе 1.
Областью iстинностi предиката T(x1, x2,...,xn) будет объединение областей iстинностi предикатiв P(x1, x2,...,xn) i Q(x1, x2,...,xn).
Отрицанием P(x1, x2,...,xn) предиката P(x1, x2,...,xn) называют предикат S(x1, x2,...,xn), какой дорiвнюе 1 на тех i лишь тех значениях термiв, на которых предикат P(x1, x2,...,xn) дорiвнюе 0.
Область iстинностi предиката S(x1, x2,...,xn) = P(x1, x2,...,xn) - это дополнение (к множеству Mn) областi iстинностi предиката P(x1, x2,...,xn).
Аналогiчним образом вводят и iншi логiчнi операцiй , ~ и тому подобное. Как правило, кожнiй iз этих операцiй вiдповiдае определена теоретико-множинна операцiя над областями iстинностi предикатiв - операндiв. Нетрудно обобщить определение всiх введенных операцiй для предикатiв P(x1, x2,...,xn) i Q(y1, y2,...,ym), что зависят вiд рiзних змiнних i имеют рiзну мiснiсть.
Зная, как выполняются окремi операцiй, можно образовывать выражения или формулы, операндами которых являются предикаты. Например рассмотрим формулу P1(x)(P3(x, z)P2(y, x, z))что задает некоторый предикат Q(x, y, z). Значение предиката Q нетрудно вычислить для любого набора значений его термiв x, y, z, выходя зi значений предикатiв P1, P2, P3 на этом наборi.
Кванторы
Дополнительно в логiцi предикатiв используют двi спецiальнi операцiй, якi называют кванторами. С помощью этих операцiй, во-первых, пропозицiйнi формы можно превращать в высказывание, i во-вторых, теорiя предикатiв становится значительно гнучкiшою, более глубокой i более богатой, нiж теорiя высказываний. Именно поэтому логiку предикатiв iнодi называют теорiею квантифiкацiй.
Найпопулярнiшими i найбiльш часто употребительными выражениями у математицi являются фразы или формулировки типа «для всiх» i «iснуе». Они входят к бiльшостi промiжних i окончательных утверждений, висновкiв, лемм или теорем при проведеннi математических мiркувань или доведений.
Например: «для всiх дiйсних чисел x выполняется рiвнiсть sin2x+cos2x = 1», «для заданных натуральных a i b всегда iснуе натуральное число d, которое есть бiльшим от чисел a i b», «для всiх натуральных n справедливое утверждение: если n дiлиться нацiло на 6 i на 15, то n дiлиться на 30» и тому подобное.
Понятие, что вiдповiдае словам «для всiх», лежит у основi квантора загальностi, какой означаеться таким образом.
Пусть P(x) - предикат на множинi M. Тодi квантор загальностi - это операцiя, что ставит в вiдповiднiсть P(x) высказывание «для всiх x из M P(x) iстинно». Для обозначения цiей операцiй используют знак , какой i называют квантором загальностi. Последнее высказывание в математичнiй логiцi записывают так: xP(читается: «для всiх x P вiд x»).
Вернуться назад