Принципы построения формальных теорий

Главная - Логика - Принципы построения формальных теорий

Математическая логика как самостоятельный раздел современной математики сформировался относительно недавно - на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков. Возникновение и быстрое развитие математической логики были связаны с так называемым кризисом основ (принципов) математики, одним из проявлений которой есть известные парадоксы или антиномии канторивськой теории множеств.

Главным предметом в исследованиях, посвященных «ликвидуванню» кризисы и «спасанию» математики, стали принципы или правила построения математических утверждений и математических теорий, в частности, поиск ответа на вопрос типа : «как должна быть построенная теория, чтобы в ней не возникало противоречий или антиномий»?, «какие свойства должны иметь методы доведения, чтобы их можно было считать строгими»? и тому подобное.

В математике с античных времен существовал образец систематического и строгого построения теории - геометрия Евклида, в которой все исходные положения формулируются явно, в виде аксиом, а все утверждения, истинные в этой теории, - теоремы - выводятся из этих аксиом с помощью последовательностей логических рассуждений, которые называются доведениями.

Однако при построении большинства следующих математических теорий математики, как правило, не считали нужным явно выделять все исходные принципы и четко формулировать методы конструирования доведений; критерии строгости доведений и очевидности утверждений в математике в разные времена были разными. Следовательно, это приводило время от времени к возникновению кризисов и необходимости пересмотра основ той или другой теории.

В конце ХIХ века в связи с возникновением кризиса в канторивський теории множеств возникла потребность пересмотра общих принципов организации математических теорий. Это привело к созданию новой отрасли математики - принципам математики.

Одной из фундаментальных идей, на которые опираются исследования из принципов математики, является идея формализации теорий, то есть последовательного проведения аксиоматического метода построения теории. При этом не допускается использовать любые предположения об объектах теории, кроме тех, которые выражены явно в виде аксиом. Аксиомы рассматривают как формальные последовательности символов (выражения, формулы или слова), а методы доведения - как методы получения одних выражений из других с помощью операций над символами.

Такой формальный подход алгебраизма гарантирует четкость и однозначность исходных (начальных) утверждений и корректность и однозначность вывода. Однако может создаться впечатление, что осмисленнисть (содержание, интерпретация или семантика) понятий и утверждений в формализированной теории не играют ни одной роли. Внешне это так и есть; однако, в действительности, и аксиомы, и правила вывода стремятся означать так, чтобы построенная за йхнью помощью формальная теория имела бы содержательный смысл.

В самом общем виде формальную теорию T (другой срок - исчисление) строят таким образом.

1. Означают набор основных символов - алфавит теории.

2. Конструктивно (как правило, индуктивно) означают множество формул, или правильно построенных выражений, которая образует язык теории.

3. Выделяют подмножество формул, которые называют аксиомами теории.

4. Задают правила вывода (выведение) теории.

Правило вывода R(F1, F2,...,Fm, G) - это отношение (или операция) на множестве формул.

Если формулы F1, F2,...,Fm, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводной из формул F1, F2,...,Fm по правилу R.

Часто правило вывода R(F1, F2,...,Fm, G) записывают в виде

F1, F2,...,Fm .

G

Формулы F1, F2,...,Fm называют предположениями, посылками или гипотезами правила R, а формулу G - выводом, следствием или следствием.