Алгебра высказываний

Главная - Логика - Алгебра высказываний

Алгебра высказываний

Носителем алгебры высказываний является множество так называемых простых высказываний.

Простое (элементарное) высказывание (высказывание) - это простое утверждение, то есть повествовательное предложение, относительно содержания которого уместно ставить вопрос о его правильности или неправильности.

Простые высказывания, в которых выражена правильная мысль, будем называть истинными, а те, которые выражают неправильную, - ошибочными.

Понятия простого (элементарного) высказывания, понятия истинности и ошибочности принадлежат к первичным неопределяющим понятиям математики, то есть они не могут быть отмечены через другие более простые сроки и объекты, а объясняются на примерах, апеллируя к нашему воображению и интуиции. К таким понятиям в математике принадлежат понятия «число», «прямая», «точка», «плоскость» и тому подобное.

Приведем несколько примеров элементарных высказываний :

1) Киев - столица Украины.

2) Число 7 является простым.

3) Число 10 больше от числа 3.

4) Все натуральные числа являются простыми.

5) Множество всех простых чисел является конечным.

Первые три высказывания являются истинными, а два последних - ошибочными.

В то же время предложение «Пусть живет математическая логика»! или «Внимательно прочитайте весь этот раздел» не являются высказываниями.

Рассматривая высказывание, виходитимо из двух основных предположений:

1) каждое высказывание является или истинным, или ошибочным (закон исключения третьего);

2) ни одно высказывание не является одновременно истинным и ошибочным (закон исключения противоречия).

Принимая эти предположения, мы становимся на точку зрения классической (традиционной) двусмысленной логики. В ХХ веке возникла и продолжают исследоваться так называемая неклассическая логика: многозначная логика, интуйционистська (конструктивная) логика, модальная логика. В дальнейшем мы будем сдерживаться принципов классической логики, в рамках которой будут проводиться все математические рассуждения.

Будем помечать элементарные высказывания малыми латинскими буквами: a, b, c,... (возможно, с индексами)а значение высказываний «Iстинно» и «Ошибочно» - соответственно символами 1 и 0 или I и Х.

Кроме того, будем рассматривать так называемые переменные высказывания, которые будем помечать латинскими буквами x, y, z,... (возможно, с индексами) и будем называть также пропозицийними переменными. После подстановки вместо пропозицийной переменной определенного элементарного высказывания эта переменная приобретет соответствующее значение: 0 или 1.

Сигнатура алгебры высказываний традиционно состоит из таких операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация.

В таблице 1 приведены разные названия и обозначения, которые используют для отмеченных операций.